بحثی در مورد منطق بیزی: چگونه باید منطقی اندیشید؟

قبل از اینکه در مورد منطق بیزی بحث کنیم و ببینیم که چه کارایی در زمینه سرمایه‌گذاری و مدیریت ریسک دارد، بهتر است کمی با مفهوم روش بیزی آشنا شویم.

قضیه بیز چنین شکلی دارد:

اما خوف نکنید. این گزاره برخلاف چهره کریه و زشتش، بسیار ساده است. قضیه بیز به سادگی می‌گوید که اگر بخواهیم احتمال وقوع یک رویداد، به شرط وقوع یک رویداد دیگر را محاسبه کنیم، باید احتمال وقوع آن رویداد به خصوص را تقسیم بر احتمال کل رویدادهای ممکن کنیم.

بدیهی است که برای حل این مساله ما نیاز به دانشی از پیش داریم. این دانش را با استفاده از نظرسنجی یا آمارگیری به دست می‌آوریم. به عنوان مثال فرض کنید که در یک شهر، ۵۰ درصد افراد تحصیلات آکادمیک دارند و ۵۰ درصد آنها چنین تحصیلاتی ندارند. با استفاده از نظرسنجی متوجه شدیم که ۱۰ درصد افراد با سواد در انتخابات شرکت می‌کنند و ۳۰ درصد افرادی که تحصیلات آکادمیک ندارند نیز در انتخابات شرکت می‌کنند. حال می‌خواهیم بدانیم اگر فردی در انتخابات شرکت کند، با چه درصدی این فرد تحصیل کرده است؟ کمی پیچیده شد نه؟ اما همچنان خوف نکنید.

قضیه بیز می‌گوید که احتمال A به شرط B برابر است با احتمال B به شرط A ضرب در احتمال A تقسیم بر احتمال B یعنی چه؟

ما می‌خواهیم احتمال این را بررسی کنیم که اگر فرد در انتخابات شرکت کرده است، با چه درصدی این فرد تحصیل کرده است. بنابراین A تحصیل کرده بودن است و B شرط ماست که شرکت در انتخابات است.

در طرف مقابل تساوی داریم احتمال B به شرط A. یعنی اگر فرد تحصیل کرده باشد با چه درصدی در انتخابات شرکت می‌کند که در صورت سوال گفته شده است ۱۰ درصد. احتمال اینکه فرد تحصیل کرده باشد، ۵۰ درصد است (گفته شد که ۵۰ درصد مردم شهر تحصیل کرده هستند) و در نهایت احتمال اینکه فرد در انتخابات شرکت کند، برابر است احتمال افراد تحصیل کرده‌ای که در انتخابات شرکت می‌کنند + تعداد افراد بی‌سوادی که در انتخابات شرکت می‌کنند. ۳۰ درصد افراد بی‌سواد در انتخابات شرکت می‌کنند که یعنی ۱۵ درصد افرادی که شرکت می‌کنند بی‌سواد هستند و در کنار آن ۵ درصد افرادی که شرکت می‌کنند تحصیل کرده‌اند در نتیجه ۲۰ درصد از کل مردم در انتخابات شرکت خواهند کرد.

پاسخ به سوال می‌شود: ۰.۱ ضربدر ۰.۵ تقسیم بر ۰.۲ که برابر است با ۲۵ درصد. یعنی ۲۵ درصد از کسانی که در انتخابات شرکت می‌کنند تحصیل‌کرده هستند. این روش اکادمیک برای حل این مساله بود که اگر یک استاد می‌خواست به شما توضیح دهد احتمالا حسابی گیج می‌شدید. اما همانطور که گفتم، به طور ساده منطق بیز می‌گوید برای محاسبه احتمال یک پیشامد، احتمال آن پیشامد به خصوص را تقسیم بر کل پیشامدهای ممکن کنید. برای محاسبه پیشامد (اگر فرد در انتخابات شرکت کرد، احتمال تحصیل کرده بودنش چقدر است؟)‌ درصد کسانی که تحصیل کرده هستند و در انتخابات شرکت می‌کنند، تقسیم بر تعداد کل افرادی که در انتخابات شرکت می‌کنند، می‌کنیم. به همین سادگی.

اما مهم‌تر از اینکه قضیه بیز چیست و چگونه محاسبه می‌شود، مفهوم این قضیه است. اما قبل از آن باید به تاریخ برویم.

روش بیزی در مقابل روش برنولی

ما دو نوع روش برای یافتن احتمال رخدادها داریم. روش بیزی و روش برنولی. روش برنولی می‌گوید که احتمال یک پیشامد از تعداد بینهایت تکرار آن پیشامد به دست می‌آید. مثلا من می‌خواهم بدانم احتمال اینکه عدد شش در یک تاس ظاهر شود، چه میزان است؟ روش برنولی می‌گوید که یک تاس را بی‌نهایت بار پرتاب کن تا متوجه شوی که عدد شش چند بار می‌آید.

اما در روش بیزی، ما یک سری اطلاعات پیشین را مفروض می‌گیریم و آن را مدام اصلاح می‌کنیم. به عنوان مثال در پرتاب تاس، ما به جای آنکه بی‌نهایت بار تاس را پرتاب کنیم، به تمام وجوه تاس عدد یک ششم را نسبت می‌دهیم. حال تاس را پرتاب می‌کنیم. مثلا عدد ۱ ظاهر می‌شود، کمی احتمال عدد یک را افزایش می‌دهیم. دوباره تاس را پرتاب می‌کنیم. اینبار عدد ۲ ظاهر می‌شود. اینبار کمی احتمال عدد ۲ را افزایش می‌دهیم و همینطور الی آخر.  بنابراین منطق بیزی یک منطق خود اصلاح‌گر است و به مرور خودش را اصلاح می‌کند. در حالی که منطق برنولی یک منطق مطلق است و البته که منطق برنولی در همه جا به کار نمی‌آید. به عنوان مثال در بیزینس شما نمی‌توانید هزاران بیزینس را اجرا کنید تا متوجه شوید احتمال موفقیت شما چقدر است. اما با استفاده از منطق بیزی می‌توانید بیزینس خود را اجرا کرده و به مرور آن را اصلاح کنید.

اگرچه برخی معتقد هستند که می‌توان با استفاده از منطق برنولی یک شرط اولیه را در نظر گرفت. به عنوان مثال با استفاده از منطق برنولی می‌توانید تعداد بیزینس‌هایی که موفق نشده‌اند را بررسی کرده و آن را به عنوان شرط اولیه بگذارید (توجه داشته باشید که منطق بیزی نیاز به یک فرض اولیه دارد) اما باید توجه داشت که در ادامه باید منطق بیزی را در پیش گرفت.

استفاده از قضیه بیز در تفکر منطقی

گفتیم که منطق بیزی نیاز به یک پیشفرض دارد و این یکی از نقاط ضعف این منطق است چرا که شما می‌توانید هر پیشفرضی را بگذارید. اما نقطه قوت این منطق آن است که به مرور خود را اصلاح می‌کند. در واقع همین قابلیت باعث شده است که از منطق بیزی به طور گسترده در یادگیری ماشینی و هوش مصنوعی استفاده شود.

اجازه بدهید ببینیم منطق بیزی چگونه به ما در تفکر منطقی کمک می‌کند. به عنوان مثال من یک فرد هستم که به شدت به توهم توطئه اعتقاد دارم. معتقدم که جهان یک توطئه در هم پیچیده است که توسط افراد قدرتمند جهان مانند خانواده روتشیلد و راکفلر اداره می‌شود.

خوب فرض می‌کنیم این افراد که در بالای هرم این توطئه جهانی قرار دارند به احتمال ۹۹ درصد افراد مطمئنی هستند و تعداد آنها را ۱۰۰ نفر در نظر می‌گیرم. یعنی این ۱۰۰ نفر به احتمال ۹۹ درصد هیچ حرفی به هیچ کس نخواهند زد. اما این افراد خانواده‌ی درجه دو‌ هم دارند که احتمالا بخشی از توطئه‌های آنها را می‌دانند. فرض می‌گیریم که تعداد خانواده درجه ۲ آنها ۵۰۰ نفر باشد و به احتمال ۹۸ درصد این افراد دهان محکمی دارند و هیچ حرفی در مورد این توطئه نمی‌زنند. باز هم این افراد نیاز به مجریانی دارند که توطئه‌های آنها را اجرایی کنند. فرض می‌گیریم برای اجرای این توطئه جهانی نیاز به ۱۰ هزار نفر باشد که آنها نیز افراد شدیدا مطمئنی هستند و تنها به احتمال ۹۶ درصد این توطئه را لو می‌دهند.

با استفاد از قانون بیز متوجه خواهیم شد که احتمال لو نرفتن این توطئه جهانی صفر است. حتی با فرض اینکه این افراد شدیدا مطمئن باشند باز هم این توطئه لو می‌رود. شاید بگویید که افرادی که تئوری‌های توطئه را لو می‌دهند، خودش نشان دهنده لو رفتن این توطئه است. پاسخ می‌تواند این باشد که این افراد لو دهنده تئوری توطئه ادعا نمی‌کنند از کسی شنیده‌اند. آنها تنها با استفاده از شواهد و ارائه روایت سعی می‌کنند تئوری توطئه را منطقی جلوه دهند. اما حرفی که من می‌زنم این است که این توطئه توسط خود گردانندگان قطعا لو می‌رود.

همین منطق را می‌توان برای گزاره‌های کلی مانند «هسته سخت نظام» استفاده کرد. در ایران ادعا می شود هسته سخت نظامی وجود دارد که همه حرکات و سکنات جمهوری اسلامی از طریق آن هدایت می‌شود. این هسته سخت نمایندگان مجلس را انتخاب می‌کند، در انتخابات دستکاری می‌کند، هرکس را که بخواهد ترور می‌کند، سرداران خود را لو می‌دهد، با اسرائیل همکاری می‌کند و از این قبیل لاطائلات. با این حال با استفاده از همین منطق بیزی متوجه خواهیم شد حتی در صورت وجود چنین هسته‌ای احتمال لو رفتن آن ۱۰۰ درصد است.

اما مشکل منطق بیزی این است که اگر شما مطمئن باشید که هسته سخت قدرتی وجود دارد. (یا احتمال لو رفتن این توطئه را صفر درصد در نظر بگیرید، به این معنا که تمام آن افراد ۱۰۰ درصد مطمئن هستند و هیچ احتمالی برای لو رفتن وجود ندارد که البته فرض احمقانه‌ای است) منطق بیزی به کمک شما نمی‌آید. منطق بیزی نمی‌تواند جزم‌اندیشی و دگماتیسم را حل کند بلکه تلاش می‌کند تا افرادی که ذهنیت بازی دارند و هر لاطائلاتی را قبول نمی‌کنند، در مسیر آنها هدایت کند.

به عنوان مثال، فرض کنید شما می‌خواهید یکی از دو نفر را استخدام کنید. یکی از آنها رزومه بسیار قدرتمندی دارد و دیگری رزومه قوی‌ای ندارد یا اساسا بدون رزومه است.

یک فرد با ذهنیت دگماتیست می‌گوید که فرد با رزومه قوی را استخدام کنیم. اما فردی که ذهنیت بیزی دارد اجازه می‌دهد تا هر دو طرف کمی کار کنند و به بررسی هردو می‌پردازد. بدیهی است که در ابتدا شانس موفقیت فرد با رزومه قوی بالا است. اما استخدام‌گر چند پارامتر لحاظ می‌کند تا به تدریج این دو فرد را بسنجد. متوجه می‌شود که در پارامترهایی که لحاظ کرده است، فردی که رزومه ضعیفی دارد، بهتر عمل می‌کند.

استخدام‌گر می‌تواند برای هر پارامتر میزانی اثرگذاری نسبت بدهد به عنوان مثال اگر فردی در پارامتر اول موفق‌تر عمل کند، ۱۰ درصد برای احراز این پست صلاحیت بیشتری دارد. پارامتر دوم ۳۰ درصد، پارامتر سوم ۲۰ درصد و الی آخر. همینطور استخدام‌گر می‌تواند با استفاده از رزومه دو فرد، یک پیشفرض اولیه برای احراز صلاحیت دو فرد داشته باشد. فرض کنیم استخدام‌گر در ابتدا فرد با رزومه قوی را ۹۸ درصد واجد شرایط احراز پست تشخیص می‌دهد و فرد بدون رزومه را تنها ۲ درصد واجد شرایط می‌داند.

همینطور فرض می‌گیریم استخدام گر پنج پارامتر در نظر می‌گیرد که اگر هر نفر در یکی از این پارامترها موفق شود، به احتمال ۷۰ درصد برای احراز پست صلاحیت دارد و قاعدتا کسی که نتوانسته، ۳۰ درصد صلاحیت خواهد داشت.

فرض می‌گیریم در پارامتر اول، فرد با رزومه قوی موفق‌تر عمل کرد. در این حالت باید احتمال احراز صلاحیت فرد اول را تقسیم بر کل احتمالات کنیم.

احتمال احراز صلاحیت فرد اول برابر است با احراز صلاحیت پایه که ۰.۹۸ درصد بود و به خاطر موفقیت در پارامتر اول هم ۷۰ درصد احراز صلاحیت دارد. نفر دوم ۰.۰۲ درصد صلاحیت پایه داشت و ۳۰ درصد هم احراز صلاحیت به خاطر عدم موفقیت در پارامتر. پاسخ می‌شود ۹۹.۱۶ درصد. می‌بینیم که همچنان موفقیت فرد قوی اگرچه بالاست اما صد درصد نیست و طبق منطق بیزی هرگز هم صد نخواهد شد.

اما فرض می‌گیریم که فرد با رزومه ضعیف تمام پارامترها را موفق عمل کند. بدین ترتیب احتمال موفقیت این فرد پس از آزمون اول ۴.۵ درصد، پس از آزمون دوم ۱۰ درصد، پس از آزمون سوم ۲۰ درصد، پس از آزمون چهارم ۳۷ درصد و پس از آزمون پنجم ۵۸ درصد خواهد بود.

دیدم که چگونه حتی می‌توان با احتمال پایه نزدیک به صفر هم به مرور با اصلاح مسیر، انتخاب درست‌تری انجام داد. در واقع ما با این آزمون ذهنی نشان دادیم که تفکر بیزی، یک تفکر خود اصلاح‌گر است که حتی با احتمالات نزدیک به صفر هم به نتایج درست می‌رسد. (می‌توان در مورد معنای کلمه «درست» بحث کرد)

اما این اصلاح مستلزم آن است که ما هیچ چیز را قطعی در نظر نگیریم. اگر ما همان ابتدا موفقیت فرد با رزومه قوی را صد در نظر می‌گرفتیم، هیچ آزمونی نمی‌توانست تغییری درنتیجه ایجاد کند.

استفاده از منطق بیزی در سرمایه‌گذاری و زندگی

منطق بیزی در بسیاری از الگوریتم‌های معاملاتی آنلاین اجرا می‌شود (اگر نگوییم تمام آنها). به این صورت که با توجه به داده‌های پیشین، به هر پارامتر میزان مشخصی احتمال نسبت داده می‌شود. به عنوان مثال، مشاهده شده است که طی ۲۰ ماه گذشته که آمار اشتغال ایالات متحده بدتر از پیش‌بینی منتشر شده است، در ۱۸ مرتبه، شاهد افت جفت ارز EURUSD بودیم. بنابراین ما احتمال افت این جفت ارز در صورت بدتر منتشر شدن آمار اشتغال ایالات متحده را ۹۰ درصد قرار می‌دهیم.

حال فرض کنید که ما انتظار داریم که جفت ارز EURUSD به احتمال ۹۹ درصد طی یک ماه آینده ۱۰۰ پیپ افزایش پیدا کند. به ناگهان آمار اشتغال بدتر از پیش‌بینی منتشر می‌شود. حال باید انتظار خود را به روزرسانی کنیم. با محاسبه این بروزرسانی، احتمال ۹۱.۶ درصد همچنان قیمت در جهتی که ما انتظار داریم پیش می‌رود و این آمار به تنهایی نمی‌تواند نظر ما را تغییر دهد. اما بیش از ۸ درصد از قطعیت ما را کاهش داد که عدد بالایی است.

همینطور در زندگی نیز می‌توانید از منطق بیزی استفاده کنید. شما به همسرتان ۹۹ درصد اطمینان دارید. ناگهان از او رفتاری می‌بینید که افرادی که این رفتار را نشان می‌دهند، ۹۰ درصد خیانتکار هستند. بنابراین اطمینان شما نسبت به همسرتان کاهش می‌یابد اما کاهش شدیدی پیدا نمی‌کند. مانند مثال قبل، اطمینان شما از ۹۹ درصد به ۹۱ درصد کاهش می‌یابد. شما همچنان به همسرتان مطمئن هستید اما این اطمینان کاهش پیدا کرده است.

دو سوگیری مهم در منطق بیزی

منطق بیزی اگرچه به ما روشی برای فکر کردن می‌دهد اما دو سوگیری مهم در این میان می‌تواند شما را درگیر اشتباه حتی در قالب این منطق کند. اولین سوگیری، سوگیری تایید است. بازگردیم به سراغ معامله EURUSD. فرض کنیم معامله‌گر با خود بگوید که تحلیل من بسیار دقیق است و این آمار تاثیری در تحلیل من ندارد.

اتفاقی که رخ می‌دهد این است که این آمار را نادیده می‌گیرد و تنها آماری را بررسی می‌کند که در تایید حرف و تحلیل خودش باشد. شاید واقعا حق با معامله‌گر باشد. (همانطور که دیدیم، حتی چنین آماری نیز نمی‌تواند قطعیت ۹۹ درصدی را کاهش شدیدی بدهد و باعث تغییر در روند معامله شود.) اما این عدم اصلاح انتظارات باعث می‌شود که در ادامه معامله‌گر در درک ریسک و بازده خود دچار خطا شود و از معامله‌ای که قطعیتش مدام در حال کاهش است، خارج نشود.

سوگیری بعدی، سوگیری لنگر انداختن است. ذهن ما توانایی آن را ندارد ( حتی دلش هم نمی‌خواهد) که داده‌های زیادی را تحلیل کند. بنابراین هرجا که بتواند لنگر می‌اندازد و از نظر خودش کوتاه نمی‌آید. به عنوان مثال شما یکبار از همسرتان نشانه‌هایی از خیانت دیدید و به او مشکوک شدید. اما پس از آن بارها علامت‌هایی دیدید که نشان از سلامت او دارد. ذهن سعی می‌کند بر نظر اولیه خود پافشاری کند و همچنان مشکوک باقی بماند. بدین ترتیب، ذهن شما، شما را فریب می‌دهد و ممکن است انتظارات خود را بر مبنای مشاهدات محدود تغییر دهید.

البته یک سوگیری دیگر نیز ممکن است وجود داشته باشد که به متودولوژی شما برای ایجاد احتمالات وابسته است نه به مکانیسم تصمیم و آن سوگیری نمونه‌گیری است. یعنی اینکه ممکن است شما در نمونه‌گیری خود برای ایجاد احتمالات دچار خطا شوید. مثلا در مثال همان تریدر، اگر به جای ۲۰ رخداد آخر، هزار رخداد آخر را لحاظ می‌کردید ممکن بود نتیجه چیز دیگری باشد. این سوگیری مشکلی در تصمیم‌گیری شما ایجاد نمی‌کند اما در ایجاد احتمالات شما اشکال ایجاد می‌کند.

نکته پایانی هم اینکه من مقاله زیر را با استفاده از منطق بیزی نوشتم. شاید به صورت پیشرفته از این منطق استفاده نکرده باشم، اما از این منظر که پس از هر رخداد، احتمالات را به روز کردم، می‌توان گفت به نوعی استفاده از منطق بیزی بود.

اهمیت مدیریت سرمایه: چگونه می‌توان با مدیریت سرمایه در یک بازی مجموع صفر هم موفق شد؟